10 занимателни логически парадокса

Учените и философите открай време обичат да запълват времето и скуката си, като задават помежду си неразрешими задачи и парадокси. Вероятно злорадстват, когато гледат как някой по-глупав от тях се мъчи и поти да разреши неразрешимото. Аз си спомням, че преди години съществуваха и книжки с главоблъсканици, но не знам защо вече те не се срещат често. Може би няма кой да ги чете?

Голям брой парадокси и главоблъсканици съхраняват своята актуалност от много години и са доказателство за несъвършенството на много от популярните научни теории, някои от които дори са считани за фундаментални. Ето няколко от най-популярните парадокси, а ако те са ви интересни, с радост бих ви предложил още много.

Ахил и костенурката

Парадоксът за древногръцкия герой Ахил и костенурката е една апория (логически вярно, но противоречиво изказване), съставена от древногръцкия философ Зенон от Елея още през V век преди новата ера.

Ахил решава да се състезава в дисциплината бягане с една… костенурка. Тъй като костенурките не са особено бързи бегачи, благородният герой и дава преднина от 500 метра. Той я изчаква да измине това разстояние и след това започва надпреварата тичайки с 10 пъти по-висока скорост. В този случай, докато Ахил пробяга 500-те метра, костенурката е изминала още 50. След това бегачът преодолява още 50 метра, но влечугото в същото време е изминало нови 5 метра. Вече ви се струва че всеки момент той ще я догони ли?

През следващия времеви интервал Ахил пробягва 5 метра, а тя се е придвижила на 0,5 метра и т. н. разстоянието до тях се съкращава безкрайно и според математиката той никога не може да я достигне.

Разбира се, от гледна точка на физиката този парадокс е безсмислен, защото бързо тичащият Ахил скоро ще я подмине. Но Зенон е искал да демонстрира с разсъжденията си, че идеализирането на математическите понятия „точка в пространството“ и „момент във времето“ невинаги са подходящи за коректното приложение към реалното движение. Неговата апория демонстрира разликата между математическата обосновка на ситуацията и реалността. Математическото твърдение е, че ненулевите пространствено-времеви интервали могат да се делят безкрайно, но ако това беше така и в реалността, то Ахил завинаги щеше да остава зад костенурката.

Парадокс на временния контур

Парадоксите, описващи пътешествия във времето, са страшно много на брой. И отдавна са любими за писателите на фантастика, както и на режисьорите и сценаристите на фантастични филми и сериали. Съществуват няколко варианта на линейните парадокси на времето, като един от най-простите е посочен в книгата The New Time Travelers от Дейвид Туми, професор от университета в Масачузетс.

Представете си, че пътешественикът във времето си купува от книжарницата хартиен екземпляр на трагедията „Хамлет“ от Шекспир. А след това отива на пътешествие назад до времето на кралицата дева (Елизабет първа). Там се среща с Уилям Шекспир и му подарява книгата. Той от своя страна хваща и я преписва дословно и я издава като собствено съчинение. Минават неколкостотин години, Хамлет е преведен на стотици езици, преиздаван е безкрайно и едно от копията се оказва в същият този магазин, където пътешественикът във времето я купува и я подарява на Шекспир, който отново я преписва и т.н.
В този случай кого трябва да считаме за автор на знаменитото произведение? След като Шекспир я е получил като дар и я е преписал?

Парадоксът на момчето и момичето

В теорията на вероятностите този парадокс се нарича още „Децата на г-н Смит“ или „Проблемът на мисис Смит“. Отначало е формулиран от американския математик Мартин Гарднър в един от броевете на Scientific American. Оттогава насам са изминали няколко десетилетия, а учените още спорят над парадокса, като са възможни поне няколко негови решения. Помислете над него и може да дадете и ваш вариант.

В едно семейство има две деца и е сигурно, че едното е момче. Каква е вероятността второто дете също да е момче, тоест колко са възможностите? На пръв поглед отговорът е елементарен – 50 на 50 (само две възможности, нали?). Защото всички смятате, че дали е момче или момиче шансът е еднакъв (въпреки че генетично не е точно така).

Проблемът е там обаче, че възможностите се оказват повече от две заради начина на задаване на въпроса и заради условностите. В семействата с две деца възможностите и последователността им на поява са следните: момче-момче, момче-момиче, момиче-момче, момиче-момиче. Изключваме първия вариант, защото в него винаги едното дете е момче, но в останалите три случая нямаме стопроцентова гаранция, че едното дете ще е момче, нали :)

Ако сте объркани – вижте източника в уикипедия

Парадоксът на Журден

Още една главоблъсканица, предложена от британския математик Филип Журден (хм, малко френско звучи, а?) в началото на ХХ век. Той може да се счита за един от вариантите на знаменитият парадокс на лъжеца.

Представете си – държите в ръце картичка, на която е написано „Твърдението на обратната страна е истинско“. Обръщате картичката, а там пише „Твърдението на обратната страна е лъжа“. Ха-ха! Разбирате ли, противоречието е налице. Ако първото твърдение е истина, то второто също трябва да е истина, но пък в този случай първото трябва да е лъжа!? Ако пък първата страна на картичката е лъжа, то фразата на втората също трябва да се счита за лъжлива, а това значи че първото твърдение отново се превръща в истина.

Софизмът „Крокодил“

Още един интересен вариант на парадокса на лъжеца. На брега на река стоят майка с детенце, а към тях плува крокодил и открадва детето. Отчаяната майка моли влечугото да върне детето й, на което крокодилът отговаря че е съгласен да го върне цяло и невредимо, ако жената правилно отговори на неговия въпрос: „Ще върне ли той детето?“

Ясно е, че за жената има два отговора – да или не. Ако тя потвърди, че крокодилът ще и върне детето, то всичко зависи от животното – дали то ще реши отговорът за правилен. Ако реши, че е, тогава връща детето, но ако реши, че не е – тя повече няма да го види.

Отрицателният отговор на майката усложнява още повече ситуацията. Ако той се окаже верният похитителят трябва да изпълни условието на сделката и да пусне детето, но по този начин отговорът на майката няма да отговаря на действителността. За да обезпечи лъжливостта на такъв отговор, крокодилът трябва да върне детето на майката, но това противоречи на договора, защото нейната грешка би трябвало да остави детето и завинаги при крокодила.

Ако сте се объркали, спокойно – сделката предложена от крокодила съдържа логическо противоречие, затова неговото обещание е неизпълнимо. За автор на този класически софизъм (дума, мисъл, изказване, която представлява лъжлив аргумент) се счита ораторът и философ Коракс от Сиракуза, живял през V век преди новата ера.

Време за бесилка

Съдия постановява присъдата си – затворникът ще бъде обесен по обяд в някой делничен ден през следващата седмица, но екзекуцията ще бъде изненада за осъдения. Той няма да узнае деня на екзекуцията си до момента, в който екзекуторът не почука на вратата на килията по обяд във фаталния ден.

Следвайки логиката на присъдата си, затворникът трябва да бъде спокоен, че… никога няма да бъде обесен. Защо ли? Неговата логика се състои от няколко части. Разсъжденията започват оттам, че „изненадващото обесване“ не може да бъде в петък, защото, ако е тогава, той ще го е узнал още след като е минало обедното време на предният ден – четвъртък. Следователно няма да е изненада и петъка отпада. Логиката на мисълта продължава и излиза, че обесването не може да бъде и в четвъртък, защото петък вече е елиминиран и ако той не е вече обесен в четвъртък вечер, обесването трябва да е в сряда, което пък отстранява изненадата от увисването на въжето в четвъртък. По същата логика отпадат всички делнични дни. И така затворникът спокойно се прибира в килията си, радвайки се, че никога няма да бъде обесен…

През следващата седмица, в четвъртък по обяд, спокойствието на лежащия в килията затворник е нарушено. На вратата почуква екзекуторът. Сигурният в логиката си осъден е… наистина изненадан, а съдията е спазил обещанието си. Сещате ли се?

Апорията „летяща стрела“

Знаменитият парадокс на Зенон от Елея показва огромните противоречия в представите на учените за време и движение. Ето и този парадокс: стрела, пусната от лък, на практика би трябвало да е замръзнала във въздуха и да не се движи, защото, разгледано в даден момент от времето, нейното местоположение е точно и заковано според гледната точка на математиците. Но ако това е така и в даден времеви момент тя е на идеално определима позиция, то значи тя винаги се намира в относително състояние на покой и не се движи изобщо!

Големите умове от векове опитват да решат този парадокс, защото от логическа гледна точка той е съставен абсолютно точно. За неговото опровержение е нужно да се обясни как един краен времеви отрязък може да се състои от безкрайно число моменти. Над такова доказателство се е мъчил дори Аристотел и не е успял. Философът посочвал, че отрязъкът време не трябва да се счита като сума от някакви неделими изолирани моменти.

И все пак много учени считат, че подходът на Аристотел е повърхностен и не опровергава наличието на парадокс. Трябва да се отбележи обаче, че посочвайки своите парадокси, Зенон не е искал да опровергава възможността за движението само по себе си, а по-скоро противоречията в идеалистичните математически възгледи.

Парадоксът на Галилей

В своя труд „Беседи и математически доказателства относно две нови направления на науката“ Галилео Галилей предлага парадокс, демонстриращ любопитните свойства на безкрайните множества. Ученият формулира две противоречащи едно на друго съждения. Първото: има числа, представляващи сума на квадрат от други цели числа – например 1, 9, 16, 25, 36 и т.н. Съществуват и други числа при които няма такова свойство – 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и др. Според тази логика общият брой на всички точни квадратни числа и обикновените числа трябва да бъде по-голям от броя на само точните квадрати.

Второто съждение: за всяко естествено число се намира негов точен квадрат, а за всеки квадрат съществува цял квадратен корен, така че броят на квадратите е равен на броят на естествените числа.
Въз основа на това противоречие Галилей прави извода, че разсъжденията за броя на елементите са приложени само към крайни множества, макар че години по-късно в математиката е въведено понятието „мощност на множествата“, с помощта на което е доказана верността на второто съждение на Галилей и за безкрайните множества.

Парадоксът на бръснаря

Представете си град с неумолими правила, в който живее само един мъж бръснар, а всеки мъж в града се поддържа ежедневно гладко избръснат. Една част от мъжете се бръснат сами, а другата част посещават бръснаря. Изглежда доста просто и логично и той следва неумолимото правило „Бръснарят бръсне само онези мъже в града, които не се бръснат сами“.

Следвайки тази логика нека зададем следния въпрос: А дали бръснарят се бръсне сам? Задавайки въпроса, откриваме, че ситуацията изглежда невъзможна. Защо ли?

1. Ако бръснарят не се бръсне сам, той трябва да се подчини на правилото и да се обръсне сам.
2. Ако бръснарят се бръсне сам, според правилото той не трябва да се бръсне повече от един път, защото обръснатите мъже по правило не посещават бръснаря.

Парадоксът на безкрайната сила

Още наричан парадокс на неустоимата сила, той се формулира така „Какво се случва, ако неустоимата сила срещне непоклатимият обект?“. Тоест нещо с безкрайна мощ срещне нещо безкрайно тежко?

Този парадокс трябва да бъде разглеждан само като тренировка на логиката, а не като постулат от възможната реалност. Според модерните научни възгледи никоя сила не е напълно неустоима и няма такова нещо като обект, който не може да бъде помръднат. Дори най-нищожната приложена сила би предизвикала някакво ускорение, преместване на обект с каквато и да е маса, макар и резултатът да е толкова нищожен и трудно измерим, че да клони към безкрайност или да е невидим за нас.

Един непоклатим, непреместваем по никакъв начин и с никаква сила обект трябва да притежава инерция с безкрайно голямо число и следователно безкрайно голяма маса. Такъв обект би колапсирал (според съвременните схващания за черни дупки) под своята собствена гравитация и би създал сингуларност. Неустоимата сила пък от своя страна ще изисква безкрайно голяма енергия, която няма как да съществува в една крайна Вселена.