Игра на статистики

Няма как да обвинявате излишно математиците, но в реалния живот съществуват много ситуации, които биха ви заприличали на черна магия. Те са толкова странни и невероятни, че единствено спокойното обяснение и научните доказателства биха ви помогнали да се успокоите.

Такива са и следващите няколко примера – звучащи отначало супер невероятно и невъзможно,  когато прочетете научното, математическо обяснение ще се почувствате поне с една идея по-интелигентни и дори може да спечелите някой приятелски облог по темата. Просто им разкажете за някой от следващите интересни факти.

Размесването на колода с карти ги подрежда по уникален начин

Условието: Представете си, че обичате да играете на покер. И дори сте опитен раздавач на картите, а не начинаещ. Вие майсторски ги размесвате, прехвърляте от една ръка в друга, дори жонглирате с тях, докато се уверите, че те наистина са размесени случайно.

А задавали ли сте си въпроса, дали конфигурацията от карти, която държите може случайно да е същата, каквато сте получили при предишно размесване? И какъв е шанса за това – 1 на 1000 или 1 на 10000? Не забравяйте, че в една колода карти има все пак само 52 различни картончета.

Решението: Вероятно сега ще се почувствате специални, защото истината е, че почти безспорно конфигурацията на размесената от вас колода карти НИКОГА не е била създавана преди от друг човек за цялата история на човечеството на нашата Земя и в нито една паралелна Вселена – ако такива съществуват. Вие сега държите в ръцете и нещо, което никога няма да бъде създадено отново до самия край на Времето. Струва ви се невероятно?

От гледна точка на статистиката 52 карти и комбинациите им всъщност са доста много. И ако искате да изчислите възможните им комбинации и да ги повторите ще са ви необходими наистина доста, доста дни. Чиста статистика – общият брой комбинации от 52 карти е всъщност факториел от 52. И в пълната си цялост и прелест, изчисленият факториел от 52 е число, изглеждащо точно така:

80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277, 824,000,000,000,000

А сега си представете, че ако около всяка една от звездите в нашата галактика обикаляха 1 трилион планети, а на всяка планета живееха по 1 трилион човека и всеки от тях имаше по 1 трилион колоди карти, а всеки от тях размесваше своята колода 1000 пъти за секунда и правеше това за времето от Големия взрив насам, то... едва тогава може би някой щеше да успее случайно да повтори предишния порядък.

И ако тези сравнения взривяват мозъка ви си помислете за това, че имате 52 карти, но в азбуката има почти два пъти по-малко букви. И все пак на света има огромно количество книги, написани само с тези букви.

Изчисляване на числото Пи с кламери и лист хартия

Условието: Нека изиграем една бърза игра. Всичко, което ви е нужно е лист хартия, молив и шепа кламери (или игли, пирончета). Нарисувайте на хартията две паралелни линии, а след това просто хвърлете шепа кламери в пространството между линиите. Не е важно колко кламера ползвате, но колкото повече са те, толкова по-добре. Затова по-смело.

След това вземате под внимание общия брой кламери, умножавате го по две и след това разделяте това число на броя кламери, които се допират до едната линия. Например ако сте хвърлили 20 кламера и 13 от тях се допират до една от линиите, то трябва да разделите 40 на 13. Числото, което получавате ще е близо до числото Пи. А ако увеличите броя на кламерите, то ще става все по-точно и по-близко до Пи.

Решението: Пи е едно от най-загадъчните неща, които просто съществуват във Вселената. В даденият случай ако предположим, че кламерите са хвърлени съвсем случайно, всички техни следващи ориентации ще имат тенденция към изравняване – тоест колкото повече пъти ги хвърляте, ще получавате още по-точни резултати.

Или като в примера с монетата и ези-тура. При подхвърлянето на монета тенденцията дали ще се падне ези или тура е еднаква, въпреки, че всяко подмятане е случайно. И колкото повече пъти хвърляте монетата, толкова по-точен е резултатът (равен брой ези и тура), тъй като постоянството намалява и намалява статистическата грешка.

Как да излъжете съперника при игра на ези-тура?

Условието: Представете си, че ви предизвикат да играете на ези-тура с паричен залог. Правилата са прости – всеки от играчите трябва да предскаже три последователни хвърляния и какво ще се падне – ези или тура. После почвате да хвърляте, докато се падне предсказаната от вас или другия комбинация. Ако последователността на вашия съперник се падне първа му давате 20 лева, но ако се падне първо вашата – вие взимате 20 лева. Ако и двамата играете честно може би си мислите, че шансовете ви са 50 на 50, нали?

Решението: Дори да нямате фалшива монета, огледало или магнит и вероятността при всяко хвърляне наистина да е 50 на 50, то все пак можете да манипулирате играта. Съществува шанс около 87% да спечелите, като номерът е там, че просто трябва да играете втори по ред. Да допуснем, че човекът хвърлящ пръв е избрал ези-ези-тура. Вашата задача е да запомните тази поредица и да изпълните две стъпки.

1.  Вашето първо предсказание трябва да е противоположно на второто избрано от съперника. В случая – тура.
2.  Вашите второ и трето предсказание трябва да съвпадат с първите две избрани от съперника. В случая – ези, ези.

Ако следвате тези правила вашите шансове да спечелите винаги ще бъдат по-големи, макар че в някои случаи ще са по-малки, а в други – много по-големи. Ако не вярвате, просто опитайте. Това нещо се нарича „нетранзитивна игра“. Но наистина, просто не трябва да играете пръв, а винаги втори. Тази хитрост е приложима и при играта „камък, ножица, хартия“

Вероятността Иван да има брат е едно към 3, а не 50 на 50

Условието: Срещате приятел, наречен Иван, а той ви споделя, че има брат или сестра, но не уточнява точно пола. Каква е вероятността родственика на Иван да е брат? Трябва да е 50 на 50, нали? Фактът, че Иван е от мъжки пол не може да има никакво влияние на това, дали има брат или сестра, нали?

Решението: Ако Иван е от мъжки пол, то шансовете той да има брат са 1:3. Добре дошли в безумният свят на математическите вероятности.

Ние знаем, че Иван е мъж, но не знаем дали е по-млад или по-стар от своя родственик. Вие също така знаете, че съществуват 4 възможни полови комбинации за две деца в зависимост от порядъка в който се раждат. Те са момче/момче, момче/момиче, момиче/момче, момиче/момиче. Всяка комбинация има шанс 1 от 4.

Но почакайте! Вие знаете, че Иван е момче, така че комбинацията момиче/момиче се изключва автоматично. Остават другите три варианта и в два от тези три случая той може да има сестра, което оставя при него шансовете да има брат само до 1 към 3.

Съществува и подобен парадокс, наречен „Парадоксът на Монти Хол“. Пред вас има три врати, като зад едната има нов автомобил, а зад другите две – кози. Избирате едната врата, но вместо да ви покаже наградата, водещият ви казва зад оставащите две врати има една коза, като ви дава шанса да си промените решението. Даже при това, че пред вас вече има само две врати за избор и да ви се струва, че шансът ви е 50 на 50, то шансът да изберете печелившата врата отново като преди си остава 1 към 3. Същото е и със сестрата на Иван – дори да ви се струва че той може да има само брат или сестра, то не е точно така, а по-скоро той може да има брат или сестра или друга сестра.

Шансът сред приятелите си да има още един, роден на вашата дата е голям

Условието: Представете си, че имате рожден ден и каните 30-тина човека на парти. Но много от тях не познавате, защото сте нов в групата, а просто искате да завържете контакти.

По някое време по време на партито, към вас идва непознат човек и ви казва, че също има рожден ден. Не е възможно, мислите си вие. Аз също имам, ама че късмет? Възможно ли е това?

Решението: при условие че никой от вас не лъже, шансовете това да се случи са доста високи. Вероятността за това в група от 23 или повече човека двама да имат съвпадение в рождените си дни е около 50%!
Тук може лесно да се объркате, защото в годината има не повече от 366 дни (отчитаме и високосните), а в групата има само 23 човека. Така че ви се струва, че вероятността за съвпадение е точно 1 към 15. И това е така, но само ако говорим за шанса от ваша страна да разделите рождения си ден с другия. Но всъщност вие сте двама отделни души.

И така. Когато се срещате с някой за първи път, шансът вашите рождени дни да съвпадат е 1 към 366. Но и при другия има същия шанс! Така че сме длъжни да пресметнем наново вероятността и резултатът става едно към 122. С увеличаване броя на хората вероятността за това че датата на човека може да е уникална се намалява много бързо, отколкото може да предположите. При 10 човека има 10% шанс за съвпадение на рожден ден. А при 20 човека, този шанс е вече цели 40%.

Ако това все още ви се струва невероятно, просто отидете в Интернет и извадете списък от 20 случайни хора, например от спортни отбори. Шансът да има двама с една дата е много голям, но ако не се случи това, просто увеличете броя до 25 и ще видите, че ще намерите двама, които да празнуват рождения си ден заедно. Но разбира се – вадете всичко на случаен принцип.

Вероятностите подсказват, че чудесата са… нещо обичайно

Условието: сигурно сте чели много статии в които се говори за удивителни съвпадения, събития които са се случили въпреки невероятно ниския им шанс. Например случаят при който през 1974 година на Бермудите 17 годишен младеж карал моторчето си и бил прегазен от такси. Точно след една година неговия брат загинал, управлявайки същия мотор на същата улица от същото това такси, прегазило брат му, возещо същия клиент. Отличен сюжет за Досиетата Х, нали?

Решението: в такава ситуация не е възможно да смятате вероятностите, като по-нагоре, защото няма как да отчетете колко често този клиент е хващал таксито возейки се по тази улица, колко често братята са карали мотора по тази улица, колко други транспортни средства са се удряли в тях и т.н. Но можем да опитаме да изчислим шансовете например в случаите на играчите на лотария.

И така, какви са шансовете да ударите два пъти джакпота? Вземете калкулатора и смятайте – това е вероятност от около 1 към няколко трилиона. Но ако потърсите в Google за такива случаи ще видите че ще намерите десетки резултати. Тук просто действа същия принцип, като по-горе с рождените дни. Макар и шансовете това да се случи с 1 човек да са нищожно малки, то вероятността това да се случи с който и да е равна на почти 100%. Трудността в разбирането на подобни неща се крие в там, че всеки човек принципно счита себе си за център на Вселената. Когато си зададем въпроса „какви са шансовете“, то ние де факто задаваме въпроса „какви са шансовете това да се случи с мен“. Но освен вас на Земята има още милиарди хора, нали?

Няколко статистици са провели експеримент в който помолили хора да разказват за случили се с тях невъзможни съвпадения, след което изчислявали доколко вероятни са били случките. Резултатът бил неочакван – чудесата се оказали много по-вероятни, отколкото всички някога са очаквали.
Когато една жена разказала че на два пъти в разстояние от 4 месеца е спечелила джакпота от лотария, те изчислили, че вероятността за този случай с тази жена бил 1 към 17 трилиона. Тя била най-големия късметлия на планетата. Само че, колкото и да звучи странно възможността за всеки един човек да спечели на лотария два пъти за 4 месеца е около 1 към 30. И това нещо наистина означава, че по принцип някой на нашата планета ще стане невероятно богат през следващите 4 месеца.

Просто това няма да се случи точно с вас :)